こんにちは。R plusAブログの時空です。今回は式を分割する方法についてです。以下、当記事のポイントです。
①式を分割するということについて、どのような方法があるか、ご存知ですか。②5a+9b=23という数式があったとします。この式には答えが無限にあるのですが③この数式を分割してよう。まず、5a+9b-23=0と式を変形して、5a=c, 9b-23=-cとおく④どのような数式でも基本的にcという、ダミー変数を用いることで式を分割できる⑤cと-cという、足したら0のものに一時的な変数を用いることで式がキレイに分割できる⑥この式の5a=cをc=0mod5, つまりcは5で割った余りが0, -c=9b-23をc=5mod9とする⑦中国の剰余定理を用いることで、cについて求めて、さらには一番最初のaとbを求める⑧表示方法に新しい1ページを加えたところが新規性があるのではないかと思います⑨ダミー変数としてcではなくαを用いて、sin²θ=α, cos²θ-1=-α, cos²θ=1-αとします⑩sinθ=√α、cosθ=√(1-α)となり、sinθ+cosθ=√α+√(1-α)です
以上です。ご清聴ありがとうございました。時空
読者の皆さんは、式を分割するということについて、どのような方法があるか、ご存知ですか。僕の編み出した方法は考えてみると不思議なのですが、なぜその様になるかという根拠はあります。
例えば、5a+9b=23という数式があったとします。この式には答えが無限にあるのですが、その答えの一つをa=1. b=2としたとします。5×1+9×2=23で、この答えは正しいことが分かります。
この数式を分割してみましょう。まず、5a+9b-23=0と、式を変形します。5a=c, 9b-23=-cとおくと、c=5×1=5, -c=9×2-23=-5で、c=5となることが分かります。または、5a-23=c, 9b=-cとおいてみましょう。c=5×1-23=-18, -c=9×2=18で、c=-18であることが分かります。
このことについて、よく考えると不思議です。どのような数式でも基本的にcという、いわゆるダミー変数を用いることで式を分割できるからです。
しかし、二つの式を足してみると、なぜこのような表し方が可能なのかは明らかです。つまり、二つの式を足してみるのです。5a=cと9b-23=-cを両辺で足すと、左辺は5a+9b-23となり、元の式が求まります。右辺はc+(-c)=0なので、元の式の右辺である0となります。
結局、このダミー変数は、cと-cという元が0であったものに一時的な変数を用いることで式がキレイに分割することが出来たのです。
この式の5a=cをc=0mod5, つまりcは5で割った余りが0, -c=9b-23をc=5mod9とすることで、cに関する二つの式を得ることが出来ます。
このc=0mod5とc=5mod9を中国の剰余定理を用いることで、cについて求めて、さらには一番最初のaとbについて求めることができます。中国の剰余定理については有名な解き方なので興味のある方はぜひ自分で調べてみてください。
以下は説明が省いてありますが、簡単な計算過程を載せておきたいと思います。5a+9b=23, 5a+9b-23=0, 5a=c, 9b-23=-c, c=0mod5, c=5mod9, 5X+9Y=1, X=2,Y=–1, このXとYはユークリッドの互除法で求める。
c’=5x5x(2)+9x0x(-1)=50, 5a=c, 5a=50, a=10, 9b-23=-50, b=-3, 5a+9b=5×10+9x(-3)=23となります。この解き方が従来の解き方と比べて効率良く解けるかといえば、何とも言えませんが、表示方法に新しい1ページを加えたところが新規性があるのではないかと思います。
もう一つ例を上げると、sinθとcosθに関する表示方法についてです。
高校数学でsin²θ＋cos²θ=1という式を習うことです。この式の表示に関する一考察です。先程と同様に、sin²θ＋cos²θ-1=0とおきます。今回はダミー変数としてcではなくαを用いてみましょう。sin²θ=α, cos²θ-1=-α, cos²θ=1-αとします。
sin²θ/cos²θ=α/(1-α)=tan²θ, 1+tan²θ=1+α/(1-α)=(1-α)/(1-α)+α/(1-α)=1/(1-α)=1/cos²θとなります。また、sinθ+cosθはsin²θがsinθを2乗した値なので、sinθ=√α、cosθ=√(1-α)となり、sinθ+cosθ=√α+√(1-α)です。
例えば、sin²(π/4)=0.5=αなので、√α=0.7071, √(1-α)=0.7071, sin(π/4)+cos(π/4)=0.7071+0.7071=1.414=√2であることが分かります。今回はここまでとします。
以上です。ご清聴ありがとうございました。時空。
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