こんにちは。R plusAブログの時空です。僕は虚数という数学の考え方に一石を投じたいと思います。
虚数とは一般的にiで単位を表し、i=√-1となります。iの２乗は-1であり、2乗した値というものは整数では基本的に0か正の値になるので、2乗してマイナスの値、つまりi²=-1であるところが虚数の一つのポイントです。
そのため、虚数は現実的には観測不可能であり、概念上のものだと考えられてきました。今回の記事では虚数単位iについて、現実的な値を考えてみます。
まず、以下の式があったとします。
( i + 1 )² = 2i
( i + 1 )² = i² + 2i + 1 = (-1) + 2i + 1 = 2i
したがって、上の式は正しいことになります。この式を両辺1/2乗する。つまり、√で左辺と右辺をそれぞれ囲ってみると、下のようになります。
i + 1 = √2√i
i – √2√i + 1 = 0
ここで、√i=x、i=x²として上の式を置き換えてみます。
x = √i
x² – √2x + 1 = 0
さて、もし(x + a) (x + b) = 0という式があったとして展開してみるとどうなるでしょうか。
x² + (a + b)x + ab = 0
つまり、x² – √2x + 1 = 0と比べてみると、次の事実がわかります。
a + b = √2, ab = 1
ここで、一つ注意すべきことは、(x + a) (x + b) = 0 という式が(x + 4) (x + 5) = 0という式であったとしてx² + 9x + 20 = 0であれば、x=-4,-5なので、a+b=(-9)であることが分かります。つまり、xの約数である-√2はa+b=-(-√2)=√2であるのです。
a+b=√2と、ab=1を足し合わせる。
ab + a + b + 1 = √2 + 1 + 1, ab + a + b + 1 = (a + 1) (b + 1)
(a + 1) (b + 1) = √2 + 2 a = x , b = yと置き換える
(x + 1) (y + 1) = √2 + 2
x=√iなので、x-√i=0にすれば、以下の左辺がゼロとなり消える。
(x – √i ＋ √i + 1) (y + 1) = √2 + 2
(x – √i) (y + 1) = √2 + 2 – (√i + 1) (y + 1) = 0
√2 + 2 = (√i + 1) (y + 1), y + 1 = (√2 + 2) / (√i + 1)
i=√(-1)=√(-) x √(1)=√(-)
虚数単位iとはマイナスの平方根である。√(-)²=(-)
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